ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

КОМБИНАТОРИКА

Задачка1. Пассажир оставил свои вещи в автоматической камере хранения, но код не записал. Решил, что и так запомнит. Когда пришел забирать вещи, сообразил, что помнит только буковку и последние две числа. Найдите наибольшее количество времени, которое будет нужно для поиска кода? Код состоит из одной из первых 10 букв российского алфавита ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ и 4 цифр. На набор 1-го кода будет нужно 30 секунд.

Решение этой задачки состоит в переборе вероятных вариантов выбора буковкы и цифр, которые в этом случае можно отыскать все вероятные варианты. Но если прирастить количество букв и цифр в задачке, то обычным перебором вариантов задачку не решить. Если обернуться вокруг, то ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ можно увидеть, что в различных областях нашей жизни достаточно нередко приходится иметь дело с поиском различного рода наборов (композиций) объектов: рассредотачивание работы меж людьми, выбор целесообразного решения препядствия из нескольких вероятных, перебор разных вариантов расположения мебели в квартире и т.д. Более того, нередко необходимо знать не ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ сами композиции, а их количество. В решении таковой препядствия нужно использовать познания из раздела арифметики, который именуется комбинаторика.

Комбинаторика – раздел арифметики, изучающий вопросы, связанные с вычислением числа разных композиций, которые можно составить из данных объектов и подчиненных тем либо другим условиям.

Этот раздел дискретной арифметики играет важную роль в теории чисел ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ, ТВ, мат. логике, вычисл. технике, кибернетике.

Как научная дисциплина комбинаторика сформировалась в 17 веке. Рождение комбинаторики как раздела арифметики связано с трудами Б.Паскаля и П.Ферма по теории азартных игр. Большой вклад в развитие комбинаторных способов занесли Г.В.Лейбниц, Я.Бернулли и Л.Эйлер. В конце 19 в ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ. энтузиазм к комбинаторному анализу возродился в связи с бурным развитием вычислительной арифметики. И тогда появилась современная символика.

Задачки, решение которых связано с выяснением числа вероятных вариантов, составленных из частей некого огромного количества, удовлетворяющих определенным условиям, будем именовать комбинаторными.

При решении комбинаторных задач можно использовать различные способы:

А) внедрение периодического ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ перебора

Б) внедрение правил суммы и произведения

В) внедрение типа подборки для нахождения числа вариантов.

Периодический ПЕРЕБОР ВАРИАНТОВ

Задачка 2. Из коробки, в какой 3 белоснежных и два бардовых шара, наобум вынимаются два. Сколькими методами можно вынуть два шара?

1) шифровка

Обозначим белоснежные шары цифрами 1,2,3; красноватые – знаками: а,б. Тогда вероятны варианты:

1, 2 1, 3 2, 3 а,б
1, а 1, б 2, а 2, б ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ 3, а 3, б

Пересчитаем их. Получили 10 методов.

2) таблица

а б
1,1 1,2 1,3
2,1 2,2 2,3
3,1 3,2 3,3
а А,1 А,2 А,3 аа аб
б Б,1 Б,2 Б,3 аб бб

В таблице покрасили те клеточки, где варианты повторяются либо невозможны. Подсчитаем количество клеток, которые не закрашены. Их 10.

Ответ: 10 методов.

ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

Выделим ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ два правила, при помощи которых будут выводиться главные формулы комбинаторики. Для облегчения осознания поначалу будем рассматривать задачки.

Задачка 3. В меню ресторана — 6 мясных и три рыбных блю­да. Сколькими методами можно избрать одно из блюд? (Другими словами, сколько существует различных выборок по одному блюду?)

Задачка 4. В меню ресторана ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ — 6 видов напитков содержат соки и три вида напитков содержат мороженое. Сколькими методами можно избрать один из напитков?

Задачки очевидно различны. В первом случае естественно представить, что мясные блюда не содержат рыбы, а рыбные — мяса (что характерно российской кухне). Тогда блюд всего девять, и столько же методов избрать одно. Во ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ 2-ой задачке не ясно, могут ли напитки сразу содержать сок и мороженое. Если могут, то полное количество напитков — от 6 до 9.

Правило сложения. Если объект со свойством А можно избрать т методами, а объект со свойством В можно избрать п методами, то выбор «либо А, или В, но не одновременно ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ» можно выполнить т + п спосо­бами

.

Задачка 5. В меню ресторана — 6 мясных и три рыбных блю­да. Сколькими методами можно избрать одно из блюд? (Другими словами, сколько существует различных выборок по одному блюду?)

Количество методов выбора меню можно отыскать по правилу суммы: 6 +3 = 9 (блюд)

Ответ: 9 блюд.

Задачка 6. Сколько можно именовать двузначных чисел ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ, кратных 15 либо 19.

Решение.

Выпишем двузначные числа, кратные 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90. Получили 6 чисел

Выпишем двузначные числа, кратные 21: 21, 42, 63, 84. Получили 4 числа.

Количество чисел, которые удовлетворяют условию задачки, можно отыскать по правилу суммы: 6 + 4 = 10 (чисел).

Ответ: 10 чисел.

Последующее правило несколько труднее.

Задачка 7. В меню ресторана — 6 мясных и три рыбных блю­да. Сколькими методами можно избрать одно рыбное ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ и одно мясное блю­до? (Другими словами, сколько существует наборов по два различных блюда: одно мяс­ное и одно рыбное?)

Выберем мясное блюдо (6 методов). К каждому методу доба­вим рыбное блюдо (по три варианта). Получится 18 различных наборов по два блюда. Наборы будут отличаться одним либо сходу 2-мя составляющими. Если начинать ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ выбор с рыбного блюда, то число пар не поменяется. Это те же пары, просчитанные другим методом.

Правило умножения. Если объект со свойством А можно избрать т методами, и после каждого такового выбора объект со свойством В можно избрать п методами, то выбор пары объектов в обозначенном порядке можно выполнить т ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ п методами.

Сложность внедрения правила состоит в том, что по тексту за­дачи нам (как в задачке 6) могут быть не необходимы пары в определённом по­рядке, ведь нет никакого различия меж наборами (гуляш, селёдка), (се­лёдка, гуляш) на столе. Выбор в определённом порядке делается только для ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ того, чтоб комфортно было подсчитать общее число методов. В других задачках, где применяется правило умножения, избранная композиция обя­зательно является упорядоченным набором предметов (как молвят матема­тики, «кортежем»).

Задачка 8. В меню ресторана — девять различных блюд. Гость выбирает одно из блюд, а его компаньон тоже одно, но не такое же. Сколько существует ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ методов выбора 2-ух различных блюд для двоих людей?

Выберем блюдо со свойством А (для первого). Это можно сделать де­вятью методами. После чего выберем блюдо для второго (свойство В). Это можно сделать восемью методами, чтоб избежать повторения. Всего получим 72 метода избрать пару блюд в определённом порядке: для пер­вого ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ и для второго гостей. При всем этом методы, когда 1-ый ест гу­ляш, 2-ой — селёдку; и 1-ый ест селёдку, 2-ой — гуляш, числятся различными. Ответ: 72 метода.

Если же нас интересует только то, что будет стоять на столе (на­пример, каждый попробует оба блюда), то методов будет вдвое мень­ше ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ, потому что варианты (гуляш, селёдка) и (селёдка, гуляш) дают один и тот же итог. И тут совершенно другая комбинаторная ситуация.

Итак, принципиальное условие: при решении задач при помощи правила умножения находим количество упорядоченных наборов.Время от времени бывают случаи, когда приходится составлять упорядоченные наборы из трёх и поболее объектов. Тогда ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ их составляют, выбирая объекты один за одним, а числа методов выбора перемножают.


pravila-provedeniya-turnira-obshie-polozheniya-o-studencheskom-turnire-fizikov-stf.html
pravila-provedeniya-turnirov-opredelenie-pobeditelej.html
pravila-provedeniya-v-sootvetstvii-s-pravilami-fst-rk-sudi.html